群论如实由好多不同类型的群组成，其中有五个基本群在表面上特别进犯欧洲杯体育，况且为斡旋更复杂的群结构提供了基础。为了诠释每个群是若何构建的，咱们需要从对称性（symmetry）运转。对称性是指一个物体在历程某些操作后仍保握不变的性质。

以海星为例，每转72度，它看起来和之前换取。为了延伸这种主见，需要建造三个条目。

最初，识别物体中总共相似的部分，并赋予它们一个编号。

其次，尝试找出不错对该物体扩充的操作，这些操作不错从头成列编号的部分，同期占据换取的空间。这些操作不错是旋转、翻转、平移或反射等。它们的共同特质是不会改换物体的举座体式或尺寸，仅仅从头成列了物体的编号部分，并确保物体仍然占据换取的空间。

第三，列出总共可能的组合。

这在数学上不是很实用，是以移除矩形，只清醒谛视。

这个图从规划“物体在空间中的特定成列或景色”挪动为规划操作。虚线箭头清醒的是垂直翻转，而实线暗意水平翻转。

咱们不错进一步简化它，不是用完整的短语，而是继承神采和节点。这些绝顶被称为节点。的第一个节点是首先节点，标记为N。

箭头变成了线，诚然穷乏箭头头部，咱们仍然称之为箭头。蓝色代表水平翻转，限度于B节点，红色代表垂直翻转，限度于R节点。咱们知谈，每次暗意关联时王人不会使用图表，践诺上以代数样貌抒发它。再次看图，发现RB等于BR，两者王人限度在RB节点。因此，更浅显地暗意为RB=BR。

显着这是一个特别粗豪的例子，但这里有一个特别进犯的点，咱们刚才画的是一个群，它的可视化，更具体地称为克莱因4元群（Klein-4，记为V4）。趁机提一下，总共的节点王人是它的元素，是以当咱们说N是V4的元素时，抒发为

克莱因四元群属于阿贝尔群家眷（abelian groups），但在真切规划它们之前，咱们需要了解一个更基本的群家眷，称为轮回群（cyclic groups）。它们是最基本的，因为它们只须旋转对称性，这意味着对轮回群只可作念一件事，那即是旋转它。

轮回群频频被定名为C_n，n是元素的数目或它们的阶。频频咱们会给一个节点分派一个恒等元“零”，因为旋转一个有n个叶片的螺旋桨n次会回到首先，这本质上等同于从未旋转过。

因此，在代数上，C_5暗意为这么：

每次旋转王人朝咱们继承的标的（不行是两个标的），

在这个例子中，每个群的元素王人是通过反复加一世成的，但数字不会无尽增多，达到n后会回到零，这即是所谓的模加法（modular addition）。

要是用凯莱表（Cayley table）来暗意这少许，

会明晰地看到访佛2+3=0或4+3=2这么的情况。正如之前提到的，其他群族不错从轮回群构建而成。因此，为了斡旋这少许，咱们需要斡旋如安在其他类型的群中找到轮回群。

接头这个图S_3，

蓝色的箭头暗意旋转或r。要是从单元元素e运转，会看到在外部刻画出一个与C_3迷漫换取的轨迹。这个术语称为r的轨谈，它们频频像聚会一样写在沿途。

总共的轮回群王人是阿贝尔群，这当然引出了阿贝尔群家眷。践诺上，阿贝尔群不错从轮回群构建而成。阿贝尔群是指那些操作章程不足轻重的群。回念念一下咱们之前的V_4例子，要是R和B是阿贝尔群中的两个操作，那么操作R后再操作B，效果与先操作B再操作R换取，这暗意为RB=BR。这个读作R与B可交换，因此阿贝尔群是可交换的。

这在视觉上可能无庸赘述，但要是望望这两个特别相似的图，

其中一个是D_4，另一个是C_2×C_4。仔细不雅察会发现，关于D_4，先蓝色再红色，和先红色再蓝色获取的节点不同，

因此RB不等于BR，但另一个群则相配。

在凯莱表中它们也很容易识别，因为它们的确是彼此的镜像。

要是你将表沿对角线对折，战争到的元素是换取的。

轮回群只可展示旋转对称的物体。那么要是念念旋转它并将其翻转呢？有相宜这种情况的群吗？有的，这即是二面体群（Dihedral groups），它不错旋转和翻转。二面体群刻画的物体也具有双边对称性，这意味着它们在反射时看起来换取。它们频频写稿D_n。

咱们在C_n中能作念的总共操作也不错在D_n中进行，因为它波及旋转。但由于D允许翻转，因此D_n中的操作数目是C_n的两倍。在二面体群中，每种可能的旋转王人有一种可能的翻转。取一个等边三角形并给总共的角编号，

咱们不错旋转它，这相配于C_3的旋转，这个顺时针的旋转不错称为r，C_3副本即是r的轨谈。但咱们也不错通过翻转三角形获取另外三个位置，将总和普及到六个。

D_n图的外环是r的轨谈，是轮回群C_n的副本，它们顺时针旋转。内环亦然旋转，但为逆时针旋转。f操作指引内环和外环。

乘法表明晰地清醒了这少许，咱们不错将其分为四个特别明确的象限。

在这个D_5的例子中，不错称它们为“翻转”和“未翻转”。

到当今为止，咱们主要规划了体式，但要是念念要从头成列群的元素会奈何？这些从头成列属于咱们将规划的终末两个群族：对称群和轮流群。它们是构建群的齐全用具，因为它们昂扬群的四个条目：

它们有一组预界说的永不改换的操作，每个操作只须一种诠释注解，连气儿扩充的一系列操作亦然一个操作，况且每个成列王人是不错逆转的。

还牢记之前提到的S_3吗？S代表对称，S_n代表n个事物的总共成列组成的群，或称为对称群。S3是咱们迄今遭遇的独一双称群，它很小，但跟着n的增大，它们变得愈加引东谈主能干。它们的限度增长特别快，S_n中的n是阶乘。卓绝S_5后，凯莱图表变得特别难以绘画。但S_4仍然不错很好地成列。S_4有四个元素，是以有24种可能的成列。红色箭头暗意成列“2到4，4到3，3到2”，蓝色箭头暗意成列“1到2，2到1”。

尽管元素的聚会不错变成一个群，但创建成列群并不一定需要取总共给定大小的成列。仍然不错使用S_n的一部分成列变成一个群。一种模范是通过轮流群，它只取S_n中一半的元素，但不是随即的一半。轮流群A_n由S_n中的偶成列组成。举个例子，

它展示了S_3中每个成列在渊博时的作为。当咱们对一个成列渊博时，践诺上是将它连气儿诳骗两次。“1”是恒等成列“1 2 3”，或粗豪记作“id”。将其渊博意味着id ○ id = id，因此效果是恒等元素。

接下来是两个元素的交换，举例交换元素1和2，渊博它意味着

这等于恒等元，因为交换两次会对消交换，因此它仍然是恒等元，是以它是一个奇成列。2和3交换亦然相似的情理。

第五和第六行的成列产生了两种不同的换位

先“1 2”，再“2 3”，因此它是偶成列。终末一个亦然偶成列。因此，在6个可能的成列中，咱们获取了三个，轮流群A_3。

在凯莱图中，轮流群的成列是对称群成列的一半。举例，轮流群A_4成列在一个截顶四面体上，而这是S_4的截顶八面体的一半。

这一切引出了凯莱定理，它指出，群论的总共内容王人不错在成列中找到。

凯莱定理（Cayley's Theorem）是群论中的一个进犯定理欧洲杯体育，标明每一个有限群王人同构于某个对称群的一个子群。换句话说，任何群王人不错通过某种样貌暗意为对称群（即成列群）的一个子群。这意味着每个群的元素不错看作是对一些聚会的元素进行成列的置换。